Question

13．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
（1）用x₁，x₂，y₁，y₂表示AB之间的距离，
（2）若x₁=2，x₂=0，y₁=0，y₂=4，点C在AB的延长线上，满足AB=$\frac{1}{2}$AC，求C点坐标，
（3）若x₁=2cos（x-$\frac{π}{6}$），x₂=1，y₁=0，y₂=sin（x-$\frac{π}{6}$），f（x）=|$\overrightarrow{AB}$|²，若对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）∈[m，n]，求n-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面上两点间的距离公式写出|AB|的表达式；
（2）根据题意，利用AB=$\frac{1}{2}$AC得出$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，列出方程求出点C的坐标；
（3）求出f（x）的解析式并化简，根据x的取值范围求出f（x）的值域，得出m、n的取值范围，再求n-m的最小值．

解答 解：（1）AB之间的距离为|AB|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$；
（2）∵点C在AB的延长线上，满足AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AB}$=（-2，4），$\overrightarrow{AC}$=（x₀-2，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=\frac{1}{2}{（x}_{0}-2）}\\{4={\frac{1}{2}y}_{0}}\end{array}\right.$，
解得x₀=-2，y₀=8，
∴点C的坐标为（-2，8）；
（3）∵x₁=2cos（x-$\frac{π}{6}$），x₂=1，y₁=0，y₂=sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=|$\overrightarrow{AB}$|²=${[2cos（x-\frac{π}{6}）-1]}^{2}$+sin²（x-$\frac{π}{6}$）
=${[-{2sin}^{2}\frac{1}{2}（x-\frac{π}{6}）]}^{2}$+2²sin²$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$）cos²$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{2}$）
=4sin²（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）
=2[1-cos（x-$\frac{π}{6}$）]
=2-2cos（x-$\frac{π}{6}$）；
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴cos（x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴-2cos（x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，-1]，
∴2-2cos（x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
即f（x）∈[0，1]；
又f（x）∈[m，n]，
∴m≤0且n≥1，
∴n-m的最小值为1-0=1．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，也考查了两点间的距离公式以及三角函数的最值问题，是综合性题目．