Question

14．已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面PAF；
（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C-PFD的体积；
（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出$\frac{AG}{AP}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理的逆定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD得PA⊥DF，故而DF⊥平面PAF；
（2）根据PA⊥AB，∠PBA=45°可得PA=1，把△CDF作棱锥的底面，则PA为棱锥的高；
（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，根据长方形的性质和平行线等分线段成比例定理可求得$\frac{AG}{AP}$的值．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中点，AB=1，AD=2，
∴AF=DF=$\sqrt{2}$，∴AF²+DF²=4=AD²，
∴DF⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，
又∵PA?平面PAF，AF?平面PAF，PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，
∴PA=AB=1．
∴三棱锥C-PFD的体积V=$\frac{1}{3}$S_△CDF×PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，
则平面EGH∥平面PDF，
∴EG∥平面PDF．
∵EH∥DF，∴$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{4}$，
又∵HG∥PD，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AH}{AD}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．