Question

19．设F₁、F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线$x=-\frac{4}{3}a$上一点，△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 设直线$x=-\frac{4}{3}a$交x轴于点M，利用△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，可得|PF₁|=|F₁F₂|，且|PF₁|=2|F₁M|，根据P为直线x=$-\frac{4}{3}a$上一点，建立方程$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，由此可求椭圆的离心率．

解答 解：设直线$x=-\frac{4}{3}a$交x轴于点M，
∵△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF₁F₂=120°，|PF₁|=|F₁F₂|，且|PF₁|=2|F₁M|．
∵P为直线x=$-\frac{4}{3}a$上一点，
∴$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，解得3c=2a，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．