Question

19．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{6}$）=$\frac{16}{17}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用周期公式求得周期；
（2）由（1）得到函数解析式，再由f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{6}$）=$\frac{16}{17}$分别求出sinα，cosβ，利用平方关系求出cosα，sinβ，代入两角差的余弦得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π，
∴$T=\frac{2π}{ω}=10π$，解得ω=$\frac{1}{5}$；
（2）f（x）=2cos（$\frac{1}{5}$x+$\frac{π}{6}$），
由f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，得2cos（$α+\frac{π}{3}+\frac{π}{6}$）=-$\frac{6}{5}$，
∴cos（$α+\frac{π}{2}$）=$-\frac{3}{5}$，即sin$α=\frac{3}{5}$，则cosα=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$；
由f（5β-$\frac{5π}{6}$）=$\frac{16}{17}$，得2coc（$β-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}$）=$\frac{16}{17}$，
∴cosβ=$\frac{8}{17}$，则sinβ=$\sqrt{1-（\frac{8}{17}）^{2}}=\frac{15}{17}$．
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{8}{17}+\frac{3}{5}×\frac{15}{17}$=$\frac{77}{85}$．

点评 本题考查余弦函数的图象和性质，考查了两角和与差的余弦，是中档题．