Question

18．己知g（x）的图象与h（x）=x+$\frac{1}{x-2}$-2的图象关于点A（1，0）对称，若f（x）=g（x）x+ax且f（x）在区间（0，1]上为增函数，则实数a的取值范围为[0，+∞）．

Answer 1

分析 可设g（x）上的任意点为（x，y），从而可以求出该点关于（1，0）点的对称点，根据题意可知该对称点在h（x）的图象上，带入h（x）解析式便可得出$g（x）=x+\frac{1}{x}$，从而可求出f（x）=x²+ax+1，而f（x）在（0，1）上为增函数，这样根据二次函数的单调性便可得到关于a的不等式，从而便可得出实数a的取值范围．

解答 解：设g（x）上任意点为（x，y），则点（x，y）关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），带入$h（x）=x+\frac{1}{x-2}-2$得：
$-y=2-x+\frac{1}{2-x-2}-2$；
∴$y=x+\frac{1}{x}$；
∴$g（x）=x+\frac{1}{x}$；
$f（x）=g（x）x+ax=（x+\frac{1}{x}）x+ax$=x²+ax+1，对称轴为$x=-\frac{a}{2}$；
∵f（x）在区间（0，1）上为增函数；
∴$-\frac{a}{2}≤0$；
∴a≥0；
∴实数a的取值范围为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评 考查一个点关于另一个点的对称点的求法，一函数图象关于一点对称时，对称图象的函数解析式的求法，以及二次函数的单调性，二次函数的对称轴．