Question

3．设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，则C的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作图，从而可得|AB|²=a²+b²，|F₁F₂|²=4c²，再结合$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，化简可得a²=2c²，从而求得．

解答 解：由题意作图如下，
，
由题意知，|AB|²=a²+b²，|F₁F₂|²=4c²，
∵$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴a²+b²=$\frac{3}{4}$•4c²，
即a²+a²-c²=3c²，
即a²=2c²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．