Question

16．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-（{a-1}）{x^2}+{b^2}x$，其中a，b为实数
 （1）求f（x）为奇函数的充要条件；
 （2）若令b=1，任取a∈[0，4]，求f（x）在R上是增函数的概率．

Answer 1

分析 （1）由函数为奇函数得到f（-x）+f（x）=0恒成立即2（a-1）x²=0恒成立，由此求得f（x）为奇函数的充要条件是a=1；
（2）把b=1代入原函数，求导后利用导函数在R上恒大于等于0求得a的取值范围，再由几何概型概率计算公式求得f（x）在R上是增函数的概率．

解答 解：（1）f（x）为奇函数?f（-x）+f（x）=0恒成立?2（a-1）x²=0恒成立?a=1，
∴f（x）为奇函数的充要条件是a=1．
（2）b=1时，$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-（a-1）{x}^{2}+x$，
f′（x）=x²-2（a-1）x+1，
f（x）在R上为奇函数?f′（x）≥0在R上恒成立，
即x²-2（a-1）x+1≥0在R上恒成立，
则△=[-2（a-1）]²-4≤0，解得：0≤a≤2．
记事件A：“f（x）在R上是增函数”，
则$P（A）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴f（x）在R上是增函数的概率是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的判定方法，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．