Question

7．设{a_n}是正项数列，其前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），则a_n=2n+1．

Answer 1

分析 4S_n=（a_n-1）（a_n+3），当n≥2时，4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），两式相减得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，可得a_n-a_n-1=2，当n=1，得a₁=3，因此a_n=2n+1．

解答 解：∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
∴当n≥2时，4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），
两式相减，整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵{a_n}是正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
令n=1，得a₁=3，
∴a_n=2n+1，
故答案为：2n+1．

点评 本题考查数列的递推式，解题时要注意数列通项公式的求解方法，考查计算能力，属于中档题．