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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AFDE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为
1
3
,求AB的长.
(Ⅰ)延长AD,FE交于Q.
∵ABCD是矩形,
∴BCAD,
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,由DEAF,AF⊥FE,AF=2,DE=1得
∠AQF=30°.
即异面直线EF与BC所成角为30°…(7分)
(Ⅱ)方法一:
设AB=x.取AF的中点G.由题意得
DG⊥AF.
∵平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADEF,
∴AB⊥DG.
∴DG⊥平面ABF.
过G作GH⊥BF,垂足为H,连接DH,则DH⊥BF,
∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.
在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得
DG=
3

在直角△BAF中,由
AB
BF
=sin∠AFB=
GH
FG
,得
GH
x
=
1
x2+4

∴GH=
x
x2+4

在直角△DGH中,DG=
3
,GH=
x
x2+4
,得
DH=2
x2+3
x2+4

∵cos∠DHG=
GH
DH
=
1
3
,得x=
2
5
15

∴AB=
2
5
15
.…(15分)
方法二:设AB=x.
以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则
F(0,0,0),A(-2,0,0),E(0,
3
,0),D(-1,
3
,0),B(-2,0,x),
DF
=(1,-
3
,0),
BF
=(2,0,-x).
∵EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取
n1
=(0,1,0).
n2
=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则
2x1-z1x=0
x1-
3
y1=0

∴可取
n2
=(
3
,1,
2
3
x
).
∵cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
1
3
,得x=
2
5
15

∴AB=
2
5
15

…(15分)
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1
2
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1
3
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