Question

7．已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，则动点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 设出P（x，y），可得向量$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{NP}$=（x-1，y），根据$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，利用数量积公式和两点间的距离公式建立关于x，y的方程，化简即可得到动点P的轨迹方程．

解答 解：设动点P（x，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{NP}$=（x-1，y），
由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，得-3（x-4）=6$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，平方化简得3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查了轨迹方程，考查了平面数量积的运算，是基础题．