Question

19．已知数列{a_n}满足a₂=6，且其前n项和S_n=pn²+12n．
（Ⅰ）求p的值和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1时，S₁=p+12，n=2时，a₁+a₂=4p+24，即可求得p的值，由S_n=-2n²+12n，当n≥2时，S_n-1=-2n²+16n-14，两式相减即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由通项公式可知1≤n≤3时，a_n＞0；n≥4时，a_n＜0．可知1≤n≤3时，T_n=S_n，当n≥4时，T_n=2S₃-S_n，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=p+12，
当n=2时，a₁+a₂=4p+24，
∴p+12+6=4p+24，解得：p=-2，
S_n=-2n²+12n，
当n≥2时，S_n-1=-2（n-1）²+12（n-1）=-2n²+16n-14，
两式相减得：a_n=-4n+14，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-4n+14；
（Ⅱ）由a_n=-4n+14≥0，得n＜$\frac{7}{2}$，
∴1≤n≤3时，a_n＞0；n≥4时，a_n＜0．
∴1≤n≤3时，T_n=S_n=-2n²+12n，
当n≥4时，T_n=2S₃-S_n=2n²-12n+36．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+12n}&{n≤3}\\{2{n}^{2}-12n+36}&{n≥4}\end{array}\right.$，

点评 本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．