Question

【题目】已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解．

设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，

方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，

由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，

设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），

由f′（x），

则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），

又此直线过点（0，0），

所以lnx0＝1，

所以x0＝e，

即f′（e），

即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，

即所求a的取值范围为0，

故选：B．