Question

已知数列{x_n}满足x_n+1=，x₁=1(n∈N*)．

(1)是否存在m∈N*，使x_m=2?证明你的结论；

(2)试比较x_n与2的大小关系；

(3)设a_n=|x_n-2|，数列{a_n}的前n项和为S_n，

求证：S_n≤2-2^1-n．

Answer 1

解：(1)假设存在m∈N_*，使得x_m=2，

则2=

同理可得x_m-2=2，依次类推有x₁=2，与x₁=1矛盾．

所以假设不成立，故不存在m∈N*使得x_m=2．

(2)∵当n≥2时，x_n+1-2=，

又x_n+1=1+，x₁=1,则x_n＞1

故x_n+1＞2，x_n+1-2与x_n-2符号相反，

而x₁=1＜2，则x₂＞2

以此类推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2(n∈N^*)

(3)由上可知x_n+1≥2

所以|x_n+1-2|=|x_n-2|，

所以a_n≤a_n-1≤…≤()^n-2a₂≤()^n-1a₁=()^n-1

S_n≤1++()²+…+()^n-1=.