Question

设函数f（x）=x-In（x+m），其中常数m为整数．
（1）当m为何值时，f（x）≥0；
（2）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x₀∈（a，b），使g（x₀）=0．
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根．

Answer 1

分析：（1）求出导函数令其为0得到函数的驻点，利用导函数大于得到f（x）为增函数，小于0得到f（x）为减函数，得到函数的极小值，令f（x）的极小值≥0得到m的范围；
（2）当整数m＞1时，函数f（x）在[e^-m-m，1-m]上为连续减函数，由增减性得到f（e^-m-m）与f（1-m）异号，由所给定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0；函数f（x）在[1-m，e^-m-m]上为连续增函数且f（1-m）与f（e^2m-m）异号，由所给定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0，得到当整数m＞1时，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根．

解答：（1）解：函数f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）连续，且f′(x)=1-

1

x+m

，令f′(x)=0，得x=1-m
当x∈（-m，1-m）时，f’（x）＜0，f（x）为减函数，f（x）＞f（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，f’（x）＞0，f（x）为增函数，f（x）＞f（1-m）
根据函数极值判别方法，f（1-m）=1-m为极小值，而且
对x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故当整数m≤1时，f（x）≥1-m≥0
（2）证明：由（1）知，当整数m＞1时，f（1-m）=1-m＜0，函数f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上为连续减函数．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
当整数m＞1时，f（e^-m-m）与f（1-m）异号，
由所给定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0
而当整数m＞1时，
f(e2m-m)=e2m-3m＞(1+1)2m-3m＞1+2m+

2m(2m-1)

2

-3m＞0
类似地，当整数m＞1时，函数f（x）=x-ln（x+m），在[1-m，e^-m-m]上为连续增函数且f（1-m）与f（e^2m-m）异号，由所给定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0
故当m＞1时，方程f（x）=0在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用给出定理证明数学题的能力．