Question

3．已知圆M的方程为x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将圆M的方程转化成（x-1）²+（y-1）²=8，求得圆心和半径，根据两圆相切，即可求得圆O的半径，求得圆O的方程；
（2）利用等比数列的性质，两点之间的距离公式求得E和F点坐标及x²-y²=1，由于点D在圆O内，求得y²＜$\frac{1}{2}$，由向量数量积的坐标表示可知：$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=2y²-1，即可求得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范围．

解答 解：（1）圆M的方程可整理为：（x-1）²+（y-1）²=8，
故圆心M（1，1），半径R=2$\sqrt{2}$．
圆O的圆心为（0，0），
∵|MO|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴点O在圆M内，
故圆O只能内切于圆M．
设其半径为r．
∵圆O内切于圆M，
∴|MN|=|R-r|，
即 $\sqrt{2}$=|2$\sqrt{2}$-r|，解得：r=$\sqrt{2}$或r=3$\sqrt{2}$（舍去）；
所以圆O的方程为：x²+y²=2；
（2）由题意可知：设：E（m，0），F（n，0），m＜n，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=±\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴E（-$\sqrt{2}$，0），F（$\sqrt{2}$，0），
设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
得|DO|²=|DE|•|DF|，
即：$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
由于点D在圆O内，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，由此得：y²＜$\frac{1}{2}$，
$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$-x）（$\sqrt{2}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-1，0）．

点评 本题考查两圆相切的性质，等比数列的性质，两点之间的距离公式，数量积的坐标运算，二次函数的单调性，考查推理计算能力，属于中档题．