Question

已知数列{a_n}满足:a₁=,=,a_na_n+1<0(n≥1,n∈N₊),数列{b_n}满足:b_n=-(n≥1,n∈N₊).
(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式.
(2)证明:数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列.

Answer 1

(1)a_n=(-1)^n-1·  b_n=×   (2)见解析

(1)由题意知,1-=(1-),
令C_n=1-,则C_n+1=C_n,又C₁=1-=,
则数列{C_n}是首项为C₁=,公比为的等比数列,即C_n=×,
故1-=×⇒=1-×,
又a₁=>0,a_na_n+1<0,
故a_n=(-1)^n-1·,
b_n=-
=-
=×.
(2)假设数列{b_n}中存在三项b_r,b_s,b_t(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{b_n}是首项为,公比为的等比数列,于是有b_r>b_s>b_t,则只可能有2b_s=b_r+b_t成立.
所以2×=+,
两边同乘3^t-1·2^1-r化简得2×2^s-r·3^t-s=3^t-r+2^t-r,
由于r<s<t,所以上式右边为奇数,左边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾,
故数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列.