Question

数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设bn=

an-1

anan+1

，数列{b_n}前n项和为T_n，求证：8T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可证数列{a_n-1}为等比数列；
（2）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求前n项和为T_n，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵a_n+1=2S_n-2n+4，∴n≥2时，a_n=2S_n-1-2（n-1）+4
∴n≥2时，a_n+1=3a_n-2（2分）
又a₂=2S₁-2+4=10，∴n≥1时a_n+1=3a_n-2（4分）
∵a₁-1=3≠0，∴a_n-1≠0，
∴

an+1-1

an-1

=3，∴数列{a_n-1}为等比数列　　　　　　（6分）
（2）由（1）an-1=3n，∴an=3n+1，
∴bn=

3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)（9分）
∴Tn=

1

2

(

1

31+1

-

1

32+1

+

1

32+1

-

1

33+1

+…+

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)=

1

2

(

1

4

-

1

3n+1+1

)（11分）
∴Tn＜

1

8

，
∴8T_n＜1（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查裂项法求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．