Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点
（1）求证：EF⊥平面PBC
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为

π

4

，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P-EF-A的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB的中点G，连接AQ，FG，则AG⊥PB，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，BC⊥AG，由此能证明EF⊥平面PBC．
（2）作PO⊥AB=0，连接OC，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-EF-A的余弦值．

解答： （1）证明：取PB的中点G，连接AQ，FG，
∵PA=AB，∴AG⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，
∵PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC
∵E、F分别是棱AD，PC的中点，
∴FG∥AE，FG=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG，
∴EF⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB=0，则PO⊥平面ABCD，
连接OC，则∠PCO=

π

4

，
∴PO=OC，设AO=x，则

9-x2

=

4+(3-x)2

，解得x=2，
以O为原点，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，

5

），A（-2，0，0），C（1，2，0），
D（-2，2，0），E（-2，1，0），F（

1

2

，1，

5

2

），

PE

=(-2，1，-

5

)，

PF

=(

1

2

，1，-

5

2

)，

PE

=(-2，1，-

5

)，

PF

=(

1

2

，1，-

5

2

)，
设平面PEF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PE =-2x+y- 5 z=0 n • PF = 1 2 x+y- 5 2 x=0

，取x=1，得

n

=（1，-3，-

5

），
设平面AEF的法向量

m

=(a，b，c)，
∵

EA

=(0，-1，0)，

FA

=(-

5

2

，-1，-

5

2

)，
∴

m • EA =-b=0 m • FA =- 5 2 a-b- 5 2 c=0

，取a=1，得

m

=(1，0，-

5

)，
设二面角P-EF-A的平面角为α，
则cosα=|coss＜

n

，

m

＞|=|

1+5

15 × 6

|=

10

5

．
∴二面角P-EF-A的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．