Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

sin2A-sin2C

sinB

=

a-b

2

，△ABC的外接圆半径为1．
（1）求角C的大小； 
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由已知得

a2 4 - c2 4

b 2

=

a-b

2

，从而a²+b²-c²=ab，进而cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，由此能求出∠C．
（2）由已知得c=（2R）sinC=2sin60°=

3

，由a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，得ab≤3．由此能求出△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

sin2A-sin2C

sinB

=

a-b

2

，△ABC的外接圆半径为1，
∴

a2 4 - c2 4

b 2

=

a-b

2

，
整理，得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
∴∠C=60°．
（2）∵△ABC的外接圆半径为R=1，∠C=60°，
∴c=（2R）sinC=2sin60°=

3

∵a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，
∴ab≤c²，即ab≤3．
故S_△ABC=

1

2

absin 60°≤

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．
∴△ABC面积的最大值为

3 3

4

．

点评：本题考查角的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．