Question

已知三棱柱ABC-A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（Ⅰ）求证：BB′⊥底面ABC；
（Ⅱ）在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥面BEF，并给出证明．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC中点O，先证AO⊥BC，再由面面垂直的性质定理证得AO⊥面BCC'B'，再由线面垂直的判定定理即可得证；
（Ⅱ） 显然M不是A'，B'，当M为A'B'的中点，使得C'M∥面BEF，可通过线面平行的判断定理，即可证得．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点O，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，
又因为面BCC'B'⊥底面ABC，AO?面ABC，面BCC'B'∩面ABC=BC，
所以AO⊥面BCC'B'，又BB'?面BCC'B'，
所以AO⊥BB'．又BB'⊥AC，AO∩AC=A，AO?面ABC，AC?面ABC，
所以BB'⊥底面ABC．
（Ⅱ） 显然M不是A'，B'，当M为A'B'的中点，使得C'M∥面BEF．
证明：过M作MN∥AA'交BE于N，则N为中点，
则MN=

1

2

（A'E+B'B）=2，则MN=C'F，MN∥C'F，
所以四边形C'MNF为平行四边形，所以C'M∥FN，
C'M?平面BEF，NF?平面BEF，所以C'M∥面BEF．

点评：本题考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的性质定理，考查逻辑推理能力，属于中档题．