Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，2），

n

=（2cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

m

•

n

．
（1）若f（x）=2，求cos（x+

π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-

3

c）cosB=

3

bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式化简函数，再利用二倍角公式，即可求cos（x+

π

3

）的值；
（2）由正弦定理将（2a-

3

c）cosB=

3

bcosC化为：（2sinA-

3

sinC）cosB=

3

sinBcosC，推导得出B=

π

6

，
根据f（A）=2sin（

A

2

+

π

6

）+1，利用三角函数图象与性质求解．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（

3

sin

x

4

，2），

n

=（2cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

2

+2cos²

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1=2sin（

x

2

+

π

6

）+1，
∵f（x）=2，
∴2sin（

x

2

+

π

6

）+1=2，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；
（2）等式（2a-

3

c）cosB=

3

bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-

3

sinC）cosB=

3

sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=

3

sinBcosC+

3

cosBsinC=

3

sin（B+C）=

3

sinA，
∴cosB=

3

2

，∴B=

π

6

，
∴0＜A＜

5π

6

，
∴0＜

A

2

＜

5π

12

∵f（A）=2sin（

A

2

+

π

6

）+1
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

7π

12

∴

1

2

＜2sin（

A

2

+

π

6

）≤1，
∴2＜f（A）≤3．

点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，考查三角函数图象与性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．