Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直线AB与直线PD所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求AB的长，并求二面角D-PB-C的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-DPB的体积．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由AB⊥PC，AB⊥BC，能证明AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）取BC的中点E，则BE=1，连结PE，DE，∠PDE为异面直线AB与PD所成的角，由此利用余弦定理，能求出AB=1；在平面PBC内，过B作BF⊥BC，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．（Ⅲ）由V_A-DPB=V_P-BDE=V_D-BPE，利用等积法能求出三棱锥A-DPB的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥PC，AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：取BC的中点E，则BE=1，连结PE，DE，
∵AD

∥

.

BE，∴AB

∥

.

DE，
由（Ⅰ）知DE⊥平面PBC，且∠PDE为异面直线AB与PD所成的角，
∴∠PDE=60°，
在△PBE中，由余弦定理，得PE=

BP2+BE2-2BP•BE•cos120°

=

3

，
在Rt△PDE中，DE=

PE

tan∠PDE

=

3

×

3

3

=1．
∴AB=1，
在平面PBC内，过B作BF⊥BC，
建立如图所求的空间直角坐标系B-xyz，
则B（0，0，0），D（1，1，0），P（0，-

1

2

，

3

2

），
∴

BD

=(1，1，0)，

BP

=(0，-

1

2

，

3

2

)，
设平面BDP的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • BD =x+y=0 n • BP =- 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取z=

3

，得

n

=(-3，3，

3

)，
取平面PBC的法向量

m

=(1，0，0)
∴cos＜

n

，

m

＞=

-3

9+9+3

=-

21

7

，
由图知二面角D-PB-C为锐角，
∴二面角D-PB-C的余弦值为

21

7

．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ABED为正方形，
∴V_A-DPB=V_P-BDE=V_D-BPE
=

1

3

×

1

2

×BP×BE×sin120°×DE
=

3

12

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意向量法的合理运用．