Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）；数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n和为S_n，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），…（2分）
即a_n=2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴；
即数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=S₁，
∴a₁=2a₁-2，即 a₁=2
∴． …（6分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1．…（8分）
（Ⅱ）由题意，∵b_n=2n-1
∴
∴，…（9分）
，…（10分）
…（11分）
=．…（12分）
分析：（Ⅰ）根据S_n=2a_n-2，利用S_n=2a_n-2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，代入得数列{b_n}是等差数列，即可求通项；
（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论．
点评：本题重点考查数列通项的求解，考查裂项法求和，解题的关键是等差数列与等比数列的判定，明确通项的特征，属于中档题．