Question

（2013•黑龙江二模）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）
（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤4的对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3，求得2x-3的最大值为2×2-3=1，可得a≥1，从而得到 1≤a≤2．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4．
而由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2和2对应点的距离之和，而-

3

2

和

5

2

应点到-2和2对应点的距离之和正好等于4，
故不等式f（x）≤4的解集为[-

3

2

，

5

2

]．
（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3．由于2x-3的最大值为2×2-3=1，∴a≥1，
故 1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．