Question

已知函数y=-x2+ax-

a

4

+

1

2

在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析：先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．

解答：解：∵y=f（x）=-(x-

a

2

)2+

1

4

（a²-a+2），对称轴为x=

a

2

，…1
（1）当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2时，f（x）max=

1

4

（a²-a+2），
由

1

4

（a²-a+2）=2得a=-2或a=3与0≤a≤2矛盾，不和要求…5
（2）当

a

2

＜0，即a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）max=f（0），由f（0）=2
得-

a

4

+

1

2

=2，解得a=-6…9
（3）当

a

2

＞1，即a＞2时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）max=f（1），
由f（1）=2得：-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

…13
综上所述，a=-6或a=

10

3

…14

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论，属于中档题．