Question

已知φ(x)=

a

x+1

，a为正常数．（e=2.71828…）；
（理科做）（1）若f(x)=lnx+φ(x)，且a=

9

2

，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范围．
（文科做）（1）当a=2时描绘?（x）的简图
（2）若f(x)=?(x)+

1

?(x)

，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（理科）（1）本小题需要先求出函数f(x)=lnx+

9

2(x+1)

的导函数f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

，然后得出单调区间，利用单调性来求出函数的最大和最小值，属于基本题目；
（2）本题函数g（x）=|lnx|+φ（x）含有绝对值号，考虑到去掉绝对值较为繁琐，也不可行，因此采用整体上处理，即构造一个新的函数来结合单调性求解，由已知

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，可以变形为

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，因此构造函数ω（x）=g（x）+x，
即ω(x)=|lnx|+x+

a

x+1

，（a＞0，x∈（0，2]），然后求解．
（文科）（1）本题的函数图象简图的作法可以利用图象变换来做，考查函数φ(x)=

2

x+1

与函数y=

2

x

的图象之间的关系来作出；
（2）由已知求得函数的导函数，利用单调性求出函数的最大（小）值来方法同（理科）（1）类似..

解答：解：（理科）（1）∵f(x)=lnx+

9

2(x+1)

(x＞0)
∴f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

（2分）
故当

1

2

＜x＜2时，f'（x）＜0，即f（x）单调递减，从而x∈[1，2）时，f（x）单调递减，
当0＜x≤

1

2

或x≥2时，f'（x）≥0，即f（x）单调递增，从而x∈[2，e]时，f（x）单调递增，（4分）
故fmin(x)=f(2)=ln2+

3

2

，又f(1)=

9

4

＞f(e)=1+

9

2(e+1)

，故fmax=f(1)=

9

4

（2）由

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1可知

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0
所以可设ω(x)=g(x)+x=|lnx|+x+

a

x+1

(a＞0，x∈(0，2])…（8分）
故由题设可知ω（x）在x∈（0，2]上为减函数，
∵ω′=

1 x +1- a (x+1)2 ，1≤x≤2 - 1 x +1- a (x+1)2 ，0＜x＜1

…（10分）
而 由

1

x

+1-

a

(x+1)2

＜0(1≤x≤2)可得a＞x2+3x+3+

1

x

(1≤x≤2)
而y=x2+3x+3+

1

x

在x∈[1，2]上是增函数，
∴a＞

27

2

．
显然当a＞

27

2

且0＜x＜1时，-

1

x

+1-

a

(x+1)2

＜0
a=

27

2

时，也成立，
所以a的取值范围是[

27

2

，+∞）…（14分）

（文科）（1）由已知φ(x)=

2

x+1

，其图象是由反比例函数图象y=

2

x

的图象向左平行移动1个单位长度所得到，如图：

（2）由已知f（x）=

a

x+1

+

x+1

a

     (a＞0)，于是有f′(x)=

a

(x+1)2

+

1

a

=

a2+(x+1)2

a(x+1)2

，显然f′（x）＞0在[1，e]上恒成立，所以函数f（x）在区间[1，e]上为增函数，
所以fmax=f(e)=

a

e+1

+

e+1

a

，fmin=f(1)=

a

2

+

2

a

点评：本题考查了函数的导数及其应用，利用导数求最大（小）值，利用导数以及结合给定的函数的单调区间求解参数的范围，另外考查了函数的图象的画法，综合考查了数形结合思想，分类思想，函数与方程的思想，构造函数解决问题的思想．