Question

已知集合A={-1，0，1}，对于数列{a_n}中a_i∈A（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若三项数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=0，则这样的数列{a_n}有多少个？
（Ⅱ）若各项非零数列{a_n}和新数列{b_n}满足首项b₁=0，b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n），且末项b_n=0，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意知1和-1必须成对出现，故只有两种可能．当三项均为0时，排列数为1，这样的数列只有1个．当三若中有1个0时，那另两个必为1和-1，三个数全排列数为6，所以这样的数列共有7个．
（Ⅱ）根据b_i-b_i-1=a_i-1且b₁=0，由累加法得b_i=a₁+a₂+…+a_{i-1（i=1，2，3，…，n）}，由此能求出S_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）满足a₁+a₂+a₃=0有两种情形：
0+0+0=0，这样的数列只有1个；
1+（-1）+0=0，这样的数列有6个．
∴符合题意的数列{a_n}有1+6=7个．
（Ⅱ）∵数列{b_n}满足首项b₁=0，b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n），
∴b_i=a₁+a₂+…+a_{i-1（i=1，2，3，…，n）}，
∵由题意知末项b_n=0，∴a₁+a₂+…+a_n-1=0，
∵a_i∈{-1，1}，∴n为正奇数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n-1中有

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=0+a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（n-1）a₁+（n-2）a2 +…+a_n-1，
要求S_n的最大值，则要求a₁，a₂，…，a_n-1的前

n-1

2

项取1，
后

n-1

2

项取-1，
∴（S_n）_max=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（-3）+（-2）+（-1）
=（n-2）+（n-4）+（n-6）+…+1=

(n-1)2

4

．
∴（S_n）_max=

(n-1)2

4

．（n为正奇数）

点评：本题考查满足条件的数列的个数的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．