Question

已知正三角形ABC内接于半径为R的圆O．
（1）若在线段AB上任取一点D，求线段AD、DB的长都不小于

1

2

R的概率；
（2）若随机地向圆内丢一粒豆子，假设豆子落在圆内任一点是等可能的，求豆子落入正三角形ABC内的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）利用余弦定理求得AB长，求满足条件AD，BD不小于

1

2

R，D所在线段的长度，利用线段的长度比求概率；
（2）分别求得正三角形ABC的面积和其外接圆的面积，利用面积比求概率．

解答： 解：（1）连接OA、OB，OA=OB=R，∠AOB=120°，∴AB=

R2+R2+2× 1 2 ×R×R

=

3

R，
在AB上取P，Q，使AP=BQ=R，PQ=（

3

-1）R，
当在PQ上任取一点D，均使得AD，BD不小于

1

2

R，
∴在线段AB上任取一点D，线段AD、DB的长都不小于

1

2

R的概率为

3 -1

3

=1-

3

3

；
（2）正三角形ABC的面积为

1

2

×

3

R×

3

R×

3

2

=

3 3

4

R²，
外接圆的面积为πR²，
∴随机地向圆内丢一粒豆子，豆子落入正三角形ABC内的概率为

3 3

4π

．

点评：本题考查了几何概型的概率计算，利用长度比、面积比、体积比求概率是几何概型求概率的常用方法．