Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上的任意一点P到该抛物线焦点的距离比该点到y轴的距离多1． 
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图所示，过定点Q（2，0）且互相垂直的两条直线l₁、l₂分别与该抛物线分别交于A、C、B、D四点．
（i）求四边形ABCD面积的最小值；
（ii）设线段AC、BD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可知

p

2

=1；
（Ⅱ）（i）由题意可设直线?₁的方程为x=2+my（m≠0），代入y²=4x得y²-4my-8=0，由韦达定理及弦长公式可表示出|AC|、|BD|，从而可表示出S_{四边形ABCD}=

1

2

|AC||BD|，通过换元及二次函数的性质可求得最小值；（ii）由（i）及中点坐标公式可得M、N的坐标，从而可表示直线MN的方程，根据方程特点可求得定点坐标；

解答： 解：（Ⅰ）由已知

p

2

=1，∴p=2；
（Ⅱ）（i）由题意可设直线?₁的方程为x=2+my（m≠0），代入y²=4x得y²-4my-8=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

y1+y2=4m y1y2=-8

，△=16（2+m²）＞0，
∴|AC|=

(m2+1)[(y1-y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)(16m2+32)

=4

(m2+1)(m2+2)

=4

m4+3m2+2

，
同理可得|BD|=4

1 m4 + 3 m2 +2

，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=8

(m4+3m2+2)( 1 m4 + 3 m2 +2)

=8

2(m4+ 1 m4 )+9(m2+ 1 m2 )+14

=8

2(m2+ 1 m2 )2+9(m2+ 1 m2 )+10

，
设t=m2+

1

m2

，则t≥2，
∴S_{四边形ABCD}=8

2t2+9t+10

，
∵函数y=2t²+9t+10在[2，+∞）上是增函数，
∴S_{四边形ABCD} ≥8

36

=48，当且仅当t=2即m=±1时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值是48．
（ii）由（i）得y₁+y₂=4m，
∴yM=

y1+y2

2

=2m，xM=2+myM=2+2m2，
∴M（2+2m²，2m），
同理得N(2+

2

m2

，-

2

m

)，
∴直线的方程可表示为(y-2m)(

2

m2

-2m2)=(-

2

m

-2m)(x-2-2m2)，即（y-2m）（1-m²）=-m（x-2-2m²），
当y=0时得x=4，
∴直线MN过定点（4，0）．

点评：本题考查抛物线的性质、方程，考查直线与抛物线的位置关系、四边形的面积求解，运算量较大，综合性较强．第（Ⅱ）中的第（i）问：
S_{四边形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=8

(m2+1)(m2+2)

•

( 1 m2 +1)( 1 m2 +2)

=8

[(m2+1)( 1 m2 +1)][(m2+2)( 1 m2 +2)]

=8

(2+m2+ 1 m2 )(5+ 2 m2 +2m2)

≥8

(2+2)(5+2×2)

=48（当且仅当m=±1时取等号）也可．