Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a：b=

2

：1，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线x+y-2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B，|AB|=

2 5

3

，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=

2

2

=

2

，且a：b=

2

：1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AB方程：y=k（x-2），k≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点）的实数t的值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a：b=

2

：1，
以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线x+y-2=0相切，
∴a=

2

2

=

2

，且a：b=

2

：1
解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由题意知，直线AB的斜率存在，
设直线AB方程：y=k（x-2）…（5分）
显然，当k=0时，|AB|=2

2

与已知不符，所以k≠0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

…（8分）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

∵|AB|=

2 5

3

，∴

1+k2

|x1-x2|=

2 5

3

，
∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

20

9

∴（4k²-1）（14k²+13）=0，即k2=

1

4

…（10分）
又∵（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），且k≠0，即t≠0
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2•

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，又k2=

1

4

．
解得t=±

2 6

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的求法，考查函数与方程思想、等价转化思想，考查运算求解能力、推理论证能力．