Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有：（S_n-1）²=a_nS_n；
（1）求S₁，S₂，S₃；     
（2）猜想S_n的表达式并证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由（S_n-1）²=a_nS_n，可得S_n=

1

2-Sn-1

，即可求S₁，S₂，S₃；     
（2）猜想Sn=

n

n+1

，再用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）∵（S_n-1）²=a_nS_n，
∴(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn，
∴S_n=

1

2-Sn-1

，
又(S1-1)2=S12，
∴S₁=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，
（2）猜想Sn=

n

n+1

．下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，S1=

1

2

，

n

n+1

=

1

2

，猜想正确；
2°假设当n=k时，猜想正确，即Sk=

k

k+1

，
那么，n=k+1时，由Sk+1=

1

2-Sk

=

1

2- k k+1

=

k+1

(k+1)+1

，猜想也成立，
综上知，Sn=

n

n+1

对一切自然数n均成立．

点评：数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．