Question

在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，O是AC的中点，D是AB的中点．
（Ⅰ） 求证：OD∥平面SBC；
（Ⅱ） 求证：SO⊥AB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由题设条件推导出OD是△ABC的中位线，进而利用线面平行的判定定理得到OD∥平面SBC；
（Ⅱ）由等边三角形三线合一，可得SO⊥AC，结合面面垂直的性质定理可得SO⊥平面ABC，再由线面垂直的性质可得SO⊥AB．

解答： 证明：（I）∵O是AC的中点，D是AB的中点．
∴OD∥BC，
又∵OD?平面SBC，BC?平面SBC，
∴OD∥平面SBC；
（Ⅱ）∵△SAC是正三角形，O是AC的中点，
∴SO⊥AC，
又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，SO?平面SAC，
∴SO⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴SO⊥AB

点评：本题考查直线与平面平行的证明，线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质定理，解题时要认真审题，仔细解答，注意对空间线面关系判定及性质的合理运用．