Question

已知f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），得c=1，由导数的几何意义得f′（1）=3a+2b=1①，易求切点（1，1），代入函数解析式可得a+b+1=1②，联立可解；
（2）解不等式f′（x）＞0可得增区间，注意写成区间形式；

解答： 解：（1）f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），则c=1，
f′（x）=3ax²+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，
切点为（1，1），则f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（1，1），
得a+b+1=1②，联立①②解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x³-x²+1；
（2）f′（x）=3x²-2x＞0得x＜0或x＞

2

3

，
单调递增区间为（-∞，0），（

2

3

，+∞）．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属基础题，正确理解导数的几何意义及单调性与导数的关系是解题关键．