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    某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
    ①cos213°+cos273°-cos13°cos73°；
    ②cos215°+cos275°-cos15°cos75°；
    ③cos240°+cos2100°-cos40°cos100°；
    ④cos2（-30°）+cos230°-cos（-30°）cos30°；
    ⑤cos2（-12°）+cos248°-cos（-12°）cos48°．
    （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
    （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
    考点：数学归纳法,归纳推理
    专题：推理和证明
    分析：（1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
    （2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．
    解答： 解：（1）对于①式，原式=cos213°+cos273°-cos13°cos（60°+13°）
    =cos213°+cos273°-cos13°（
    1
    2
    cos13°-
    		3
    2
    sin13°    ）
    =
    1
    2
    cos213°    +
    		3
    4
    sin26°    +cos273°
    =
    1+cos26°
    4
    +
    		3
    4
    sin26°+
    1+cos146°
    2

    =
    3
    4
    +
    1
    2
    (
    1
    2
    cos26°+
    		3
    2
    sin26°)-
    1
    2
    cos34°
    =
    3
    4
    +
    1
    2
    (cos60°cos26°+sin60°sin26°)    -
    1
    2
    cos34°
    =
    3
    4
    +
    1
    2
    cos34°-
    1
    2
    cos34°
    =
    3
    4
    ．
    （2）根据式子特点猜想：cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=
    3
    4

    证明：原式左边=cos2α+（cosαcos60°-sinαsin60°）2-cosα（cosαcos60°-sinαsin60°）
    =cos2α+
    1
    4
    cos2α    -2×
    1
    2
    ×
    		3
    2
    sinαcosα    +
    3
    4
    sin2α    -
    1
    2
    cos2α+
    		3
    2
    sinαcosα
    =
    3
    4
    cos2α    +
    3
    4
    sin2α    -
    		3
    2
    sinαcosα+
    		3
    2
    sinαcosα
    =
    3
    4
    (sin2α+cos2α)
    =
    3
    4
    ．
    点评：归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．
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