Question

已知函数f(x)=

x2

ex

，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有且只有一个解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x₁≠x₂且x₁，x₂∈（-∞，2]时，若有f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），然后在定义域内解不等式f'（x）＞0、f'（x）＜0可得函数的增、减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）_极小值=f（0）=0，f(x)极大值=f(2)=

4

e2

，易判断f(x)=

x2

ex

的值域为[0，+∞），结合图象可得m范围；
（Ⅲ）不妨设x₁＜x₂，由题意则x₁＜0，0＜x₂≤2，利用作差可判断f（x₂）＜f（-x₂），从而有f（x₁）＜f（-x₂），利用单调性可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

x(2-x)

ex

，
令

x(2-x)

ex

＞0，解得0＜x＜2，
令f′（x）＜0，即

x(2-x)

ex

＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴f（x）的递增区间为（0，2），递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）_极小值=f（0）=0，f(x)极大值=f(2)=

4

e2

，
∵方程f（x）=m有且只有一个根，又f(x)=

x2

ex

的值域为[0，+∞），
∴m∈(

4

e2

，+∞)∪{0}；
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）及当x₁，x₂∈（-∞，2]时，有f（x₁）=f（x₂），不妨设x₁＜x₂，
则有x₁＜0，0＜x₂≤2，
又f(x2)-f(-x2)=

x 2 2 (1-e2x2)

ex2

＜0，即f（x₂）＜f（-x₂），
∴f（x₁）＜f（-x₂），
又∵x₁＜0，-x₂＜0，且f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴x₁＞-x₂，即x₁+x₂＞0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查函数与方程思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．