Question

已知在等差数列{a_n}中，a₁=31，S_n是它的前n项和，S₁₀=S₂₂．
（1）求S_n；
（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．
（3）求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列的通项公式，求出公差即可求S_n；
（2）法1：求出数列的通项公式，根据等差数列的性质，法2：求出数列的前n项和，利用二次函数的图象和性质进行求解．
（3）求出数列{|a_n|}的通项公式，即可求出结论．

解答： 解：（1）∵S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀，S₂₂=a₁+a₂+…+a₂₂，又S₁₀=S₂₂，
∴a₁₁+a₁₂+…+a₂₂=0，又a₁=31，
解得d=-2，
则S_n=na1+

n(n-1)

2

d=31n-n(n-1)=32n-n²．
（2）法一：由（1）知S_n=32n-n²，故当n=16时，S_n有最大值，S_n的最大值是256．
法二：由（1）知：an=31+(n-1)(-2)=-2n+33(n∈N*)⇒a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈＞…
∴，当且仅当n=16时，S_n有最大值，S_n的最大值是S16=32×16-162=256
（3）由（1）知：an=31+(n-1)(-2)=-2n+33(n∈N*)
数列{|a_n|}的前n项和T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
①当n≤16时，有Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=Sn=32n-n2；
②当n≥17时，有T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n=S16-(Sn-S16)=-Sn+2S16=n2-32n+512．
综上Tn=

32n-n2， n≤16 n2-32n+512 ， n≥17

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的计算，考查学生的计算能力．