Question

在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c（acosB-bcosA）=b²，且△ABC的面积为

1

2

b²，则∠C=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式，整理得到a=

2

b，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将表示出的a以及已知面积代入求出sinC的值，即可确定出C的度数．

解答： 解：∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴c（acosB-bcosA）=b²，变形得：ac•

a2+c2-b2

2ac

-bc•

b2+c2-a2

2bc

=b²，
整理得：a=

2

b，
∵△ABC的面积为

1

2

b²，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

2

b•b•sinC=

1

2

b²，
整理得：sinC=

2

2

，
则∠C=45°或135°．
故答案为：45°或135°

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．