Question

函数f（x）=e^x在x=2x_n处的切线与x轴交于点（x_n+1，0），其中n∈N^*，若x₁=

3

2

，则数列（x_n）的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先利用导数求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据切线与x轴的交点为（x_n+1，0），可得x_n+1与x_n的关系，再利用等差数列的求和公式求解即可．

解答： 解：由题可得f′（x）=e^x，
所以曲线y=f（x）在点（2x_n，f（2x_n））处的切线方程是：y-f（2x_n）=f′（2x_n）（x-2x_n）．
即y-e2xn=e2xn（x-x_n）．
令y=0，得-e2xn=e2xn（x_n+1-x_n）．
即x_n+1-x_n=-1．
∵x₁=

3

2

，
∴S_n=

3

2

n-

n(n-1)

2

=

4n-n2

2

．
故答案为：

4n-n2

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题．