Question

已知x，y满足

2x+y-3≥0 4x-y-9≤0 y≤lnx

，则z=

1

2

x-y的最小值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答： 解：由z=

1

2

x-y得y=

1

2

x-

z

2

，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=

1

2

x-

z

2

，
由图象可知当直线y=

1

2

x-

z

2

，与y=lnx相切时，直线y=

1

2

x-

z

2

的截距最大，此时z最小，
函数y=lnx的导数y′=f′(x)=

1

x

，由y′=f′(x)=

1

x

=

1

2

，
解得x=2，此时y=ln2，即切点坐标为（2，ln2），
代入目标函数z=

1

2

x-y=1-ln2．
∴目标函数z=x-2y的最小值是1-ln2．
故答案为：1-ln2．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用以及直线和曲线相切，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．