Question

过点M（-2，0）作斜率为k₁（k₁≠0）的直线与双曲线x²-

y2

3

=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、3
• C、-

  1

  3

• D、-3

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设直线l的方程为y=k₁（x+2），代入x²-

y2

3

=1，得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k₁k₂的值．

解答： 解：设直线l的方程为y=k₁（x+2），代入x²-

y2

3

=1，得（3-k₁²）x²-4k₁²x-4k₁²-3=0，
所以x₁+x₂=

4 k 2 1

3- k 2 1

，则

x1+x2

2

=

2k1

3- k 2 1

•k₁=

2 k 2 1

3- k 2 1

，即线段AB的中点为P的横坐标为

2 k 2 1

3- k 2 1

，
则纵坐标为y=k₁（x+2）=k₁•（

2 k 2 1

3- k 2 1

+2）=

6k1

3- k 2 1

，
所以OP的斜率k₂=

6k1 3- k 2 1

2 k 2 1 3- k 2 1

=

3

k1

，
所以k₁k₂=3，
故选B．

点评：本题主要考查直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．