Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为2+2

2

，记动点C的轨迹为曲线W．
（1）求W的方程；
（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC的周长为2+2

2

，|AB|=2，利用椭圆的定义可得动点C的轨迹，从而可得W的方程；
（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y²=4x与曲线W：

x2

2

+y2=1，(y≠0)的交点，联立方程，求得交点即可．

解答：解：（1）设C（x，y），∵|AC|+|AB|+|BC|=2+2

2

，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2

2

＞2…（3分）
∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2

2

的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
∴a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1…（5分）
∴W的方程：

x2

2

+y2=1，(y≠0)…（6分）
（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y²=4x与曲线W：

x2

2

+y2=1，(y≠0)的交点，
由

y2=4x x2 2 +y2=1(y≠0)

，消去y得：x²+8x-2=0…（9分）
解得x1=3

2

-4，x2=-3

2

-4（舍去）                                …（11分）
由x=3

2

-4代入抛物线的方程得y=±2

3 2 -4

…（13分）
所以存在两个点(3

2

-4，2

3 2 -4

)和(3

2

-4，-2

3 2 -4

)满足题意．…（14分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查曲线的交点，考查学生的计算能力，属于中档题．