Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂为左右焦点，点P（2，

3

）在椭圆C上，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且有

IG

=λ

F1F2

（λ为实数），则椭圆方程为（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  +

  5y2

  27

  =1
• D、

  x2

  10

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：在△F₁PF₂的重心为G，内心为I，由于点P（2，

3

）以及

IG

=λ

F1F2

（可得内心IG的纵坐标，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可得到椭圆方程

解答：解：设点P距x轴的距离为

3

，因为IG∥F₁F₂，则点I距x轴的距离为

3

3

，连接F₁I，F₂I，PI，则S△F1PF2=

1

2

×|F1F2|×

3

=

1

2

×2c×

3

=

3

c，S△F1PF2=S△F1IF2+S△F1IP+S△F2IP=

1

2

×|F1F2|×

3

3

+

1

2

×(|PF1|+|PF2|)×

3

3

=(a+c)

3

3

，所以(a+c)

3

3

=

3

c，⇒a=2c⇒b=

3

c，所以

4

4c2

+

3

3c2

=1⇒c2=2，所以椭圆方程为

x2

8

+

y2

6

=1．
故选：A

点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用