Question

过抛物线x²=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则

FA

•

FB

+

FC

•

FD

的最大值等于（　　）

• A、-4
• B、-16
• C、4
• D、-8

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-

1

k

x+1．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．

解答：解：如图所示，
由抛物线x²=4y可得焦点F（0，1）．
设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．
∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-

1

k

x+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0，
得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
同理可得x3+x4=

-4

k

，x₃x₄=-4．
∴

FA

•

FB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=-4（1+k²）．
同理可得

FC

•

FD

=-4(1+

1

k2

)．
∴

FA

•

FB

+

FC

•

FD

=-4(2+k2+

1

k2

)≤-4(2+2

k2• 1 k2

)=-16，当且仅当k=±1时取等号．
∴

FA

•

FB

+

FC

•

FD

的最大值等于-16．
故选：B．

点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．