Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，可得x=0是极大值点，从而f'（0）=0，故可求c的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=0或-2b，根据-b是方程f（x）=0的一个根，可得f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²），从而可得方程x²+2bx-2b²=0的根的判别式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0，结合（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，可得结论；
（Ⅲ）根据函数的单调性可知x=0是极大值点，从而可得-2＜b≤-1，构造函数g（b）=f（1）=-2b³+3b+1，可得g（b）在（-2，-1]上单调递减，即可求得f（1）的取值范围．
解答：（Ⅰ）解：求导函数，可得f'（x）=3x²+6bx+c
∵函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，
∴x=0是极大值点，
∴f'（0）=0，∴c=0…（2分）
（Ⅱ）证明：令f'（x）=0，得x=0或-2b
由f（x）的单调性知-2b≥2，∴b≤-1
∵-b是方程f（x）=0的一个根，则（-b）³+3b（-b）²+d=0⇒d=-2b³
∴f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²）…（4分）
方程x²+2bx-2b²=0的根的判别式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0
又（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，
即-b不是方程x²+2bx-2b²=0的根，∴f（x）=0有不同于-b的根x₁、x₂．
∵x₁+x₂=-2b，∴x₁、-b、x₂成等差数列                   …（8分）
（Ⅲ）解：根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f（0）＜16⇒-2b³＜16，∴b＞-2，于是-2＜b≤-1
令g（b）=f（1）=-2b³+3b+1
求导g'（b）=-6b²+3-2＜b≤-1时，g'（b）＜0，
∴g（b）在（-2，-1]上单调递减
∴g（-1）≤g（b）＜g（-2）
即0≤f（1）＜11…（14分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确运用导数是关键．