Question

（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²－y²＝1.
(1)过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点．若l与圆x²＋y²＝1相切，求证：OP⊥OQ；

Answer 1

(1) S＝|OA||y|＝.(2)见解析。

(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A,渐近线方程：y＝±x,然后可设出过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.
(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0（*）
设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，然后证·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(x₁＋b)(x₂＋b)=2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明·＝0即可.
(1)双曲线C₁：－y²＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0.
设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，则
又y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)，所以
·＝x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²
＝2(－1－b²)＋2b²＋b²＝b²－2＝0.
故OP⊥OQ.