Question

11．如图所示，已知在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE=$\frac{1}{4}$AD，过AB的中点F作HF⊥EC于H．
（1）求证：FH=FA；
（2）求EH：HC的值．

Answer 1

分析 （1）建立直角坐标系．可得A（0，0），C（1，1），E（0，$\frac{1}{4}$），F（$\frac{1}{2}$，0）．利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线FH的斜率，再利用点斜式分别得到直线CE、FH的方程，即可得到点H的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案．
（2）求出|EH|=$\sqrt{（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{4}-\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，|CH|=$\sqrt{（1-\frac{1}{5}）^{2}+（1-\frac{2}{5}）^{2}}$=1，可得结论．

解答 解：（1）如图所示．建立直角坐标系．
则A（0，0），C（1，1），E（0，$\frac{1}{4}$），F（$\frac{1}{2}$，0）
直线CE：y=$\frac{1-\frac{1}{4}}{1-0}x+\frac{1}{4}$，化为y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．
∵FH⊥CE，∴k_FH=-$\frac{4}{3}$．
∴直线FH：y=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{1}{2}$），即y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
联立解得H（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
∴|FH|=$\frac{1}{2}$，
∵|AF|=$\frac{1}{2}$，
∴|FH|=|AF|．
（2）∵|EH|=$\sqrt{（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{4}-\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，|CH|=$\sqrt{（1-\frac{1}{5}）^{2}+（1-\frac{2}{5}）^{2}}$=1．
∴EH：HC=1：4．

点评 本题考查了通过建立直角坐标系证明几何问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、两点间的距离公式，属于中档题．