Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$，用定义法证明函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 设x₁＜x₂＜0，然后通过作差判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系即可．

解答 证明：f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$=-1+$\frac{3}{x+1}$
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=-1+$\frac{3}{{x}_{1}+1}$-（-1+$\frac{3}{{x}_{2}+1}$）=$\frac{3}{{x}_{1}+1}$-$\frac{3}{{x}_{2}+1}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评 考查增函数的定义，以及利用定义证明函数单调性的过程．