Question

13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2．
（1）若A=30°，求a；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）因为cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$由正弦定理求出a的值．
（2）由余弦定理，结合基本不等式，求出ac的最大值，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，因为cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sin30°}$=$\frac{2}{\frac{3}{5}}$，
所以a=$\frac{5}{3}$；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得4=a²+c²-$\frac{8}{5}$ac≥2ac-$\frac{8}{5}$ac，
∴ac≤10，当且仅当a=c时取等号，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×10×\frac{3}{5}$=3．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．