Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n．

Answer 1

分析 S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），n≥2时，S_n=4a_n-1+2，可得：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），b_n=a_n+1-2a_n，b_n=2b_n-1．n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂．利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），∴n≥2时，S_n=4a_n-1+2，可得：a_n+1=4a_n+2-（4a_n-1+2），
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1．
n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5．
b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为3，公比为2．
∴b_n=3×2^n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．