Question

2．设函数f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）在答题卡上用“五点法”列表并作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；
（2）用文字说明通过函数图象变换，由函数y=sinx的图象得到函数y=f（x）的过程．

Answer 1

分析 （1）利用x=$\frac{π}{8}$是函数y=f（x）的图象的对称轴，可求得φ=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，又-π＜ϕ＜0，从而可得φ的值并由此写出f（x）的解析式，利用五点法即可作出函数的图象；
（2）直接根据函数图象的平移变换和伸缩变换规律即可得到．

解答 （本题满分为12分）
解：∵由题意得，f（$\frac{π}{8}$）=±2，
∴$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z
∵-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{3π}{4}$），…1分
（1）列表如下：

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
f（x）	-$\sqrt{2}$	-2	0	2	0	-$\sqrt{2}$

…3分
描点连线，作图如下：…8分

（2）将函数y=sinx的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位长度，得到函数y=sin（x-$\frac{3π}{4}$）的图象；
将得到的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的图象；
将得到的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的图象…12分

点评 本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查正弦函数的对称性与单调性，考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意分清哪个是平移前的函数，哪个是平移后的函数，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．